Primjer 1.: Izračunaj duljinu plošne i prostorne dijagonale kocke ako je duljina brida 12 cm:
Zadatak 1.: Izračunaj duljinu plošne i prostorne dijagonale kocke ako je duljina brida:
| a) 8 cm |
b) $$3 \sqrt{18} $$ dm |
Primjer 2.: Izračunaj površinu dijagonalnog presjeka kocke ako je duljina prostorne dijagonale $$ 3\sqrt{24} $$ cm.
Zadatak 2.: Izračunaj površinu dijagonalnog presjeka kocke ako je duljina prostorne dijagonale $$ 2\sqrt{27} $$ cm.
Primjer 3.: Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra ako su duljine njegovih bridova 8 cm, 9 cm i 12 cm.
Zadatak 3.: Izračunaj duljinu prostorne dijagonale kvadra ako su duljine njegovih bridova 12 cm, 9 cm i 36 cm.
Primjer 4.: Duljine dvaju bridova kvadra su 4 cm i 4.5 cm. Kolika mora biti duljina trećeg brida da bi duljina prostorne dijagonale bila 8.5 cm?
Zadatak 4.: Duljine dvaju bridova kvadra su 24 cm i 18 cm. Kolika mora biti duljina trećeg brida da bi duljina prostorne dijagonale bila 34 cm?
Kocka i kvadar
KOCKA:
Plošna dijagonala kocke je dužina kojoj su krajnje točke dva nasuprotna vrha iste strane kocke. Kocka ima 12 plošnih dijagonala iste duljine.
Duljina plošne dijagonale: $$d=a \sqrt{2} $$
Ako kocku presiječemo ravninom koja sadrži dva usporedna brida kocke koji ne pripadaju istoj strani kocke, dobijemo dijagonalni presjek kocke.
Dijagonalni presjek kocke je pravokutnik.
Opseg i površina dijagonalnog presjeka: $$O_{dp}=2 a \left(1+ \sqrt{2} \right)$$ , $$P_{dp}=a^{2} \sqrt{2} $$
Prostorna dijagonala kocke je dijagonala njenog dijagonalnog presjeka.
Prostorna dijagonala kocke je dužina kojoj su krajnje točke dva vrha kocke koji ne pripadaju istoj strani kocke. Kocka ima 4 prostorne dijagonale iste duljine.
Duljina prostorne dijagonale: $$D=a \sqrt{3} $$
KVADAR:
Plošna dijagonala kvadra je dužina kojoj su krajnje točke dva nasuprotna vrha iste strane kvadra.
Duljine plošnih dijagonala:
| $$d_{1}^{2}=a^{2}+b^{2}$$ |
$$d_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}$$ | $$d_{3}^{2}=b^{2}+c^{2}$$ |
| $$d_{1}= \sqrt{a^{2}+b^{2}} $$ |
$$d_{2}= \sqrt{a^{2}+c^{2}} $$ | $$d_{3}= \sqrt{b^{2}+c^{2}} $$ |
$$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}=2 \cdot \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$$
Ako kvadar presiječemo ravninom koja sadrži dva usporedna brida kvadra koji ne pripadaju istoj strani kvadra, dobijemo dijagonalni presjek kvadra.
Dijagonalni presjek kvadra je pravokutnik.
Površina dijagonalnog presjeka:
$$P_{1}=d_{1} \cdot c$$ , $$P_{2}=d_{2} \cdot b$$ , $$P_{3}=d_{3} \cdot a$$ .
Prostorna dijagonala kvadra je dijagonala njegovog dijagonalnog presjeka.
Prostorna dijagonala kvadra je dužina kojoj su krajnje točke dva vrha kvadra koji ne pripadaju istoj strani kvadra.
Duljina prostorne dijagonale: $$D= \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} $$