Iracionalni i realni brojevi

Iracionalni i realni brojevi

Brojeve koji imaju beskonačno mnogo decimala koje se ne ponavljaju periodično nazivamo neperiodični beskonačni decimalni brojevi.

Iracionalni brojevi su brojevi koji u decimalnom zapisu imaju beskonačno mnogo decimala koje se ne ponavljaju periodično.

Iracionalni brojevi ne mogu se prikazati u obliku $$ \frac{a}{b} $$ , $$a \epsilon Z$$ , $$b \epsilon N$$ , $$b \neq 0$$ , tj. u obliku razlomka. Dakle, iracionalni brojevi nisu racionalni brojevi. Skup iracionalnih brojeva označavamo sa I.

Broj $$ \sqrt{n} $$ je iracionalan broj za svaki prirodni broj n koji nije kvadrat prirodnog broja.

Broj π je iracionalan broj: $$ \pi = \frac{o}{2 \cdot r} $$ (omjer opsega kruga i duljine njegova promjera).

Iracionalnih brojeva ima beskonačno mnogo.

Iracionalne brojeve pri računanju aproksimiramo racionalnim brojevima, tj. zamjenjujemo ih njihovim približnim vrijednostima.

Svi racionalni brojevi i svi iracionalni brojevi tvore zajedno skup realnih brojeva kojeg označavamo s R:

$$R=Q \cup I$$ ,

gdje znak $$ \cup $$ čitamo: unija.

Unija dvaju skupova jest skup koji sadrži elemente obaju skupova.

Skupovi Q i I nemaju zajedničkih elemenata, tj. svaki realni broj je ili racionalan ili iracionalan.

Skupovi Q i I su podskupovi skupa R, tj. vrijedi:

$$Q \subset R$$ i $$I \subset R$$ .

Za skupove N, Z, Q i R vrijedi odnos:

$$N \subset Z \subset Q \subset R$$ .

Zbroj racionalnog i iracionalnog broja jest iracionalan broj, dok zbroj iracionalnih brojeva može biti racionalan broj.
Umnožak racionalnog broja različitog od nule i iracionalnog broja jest iracionalan broj, dok umnožak iracionalnih brojeva može biti racionalan broj.